hce_nthu
112年
資訊科學
第 21 題
$Y_1, Y_2, \dots$ are independent and identically distributed random variables; the moment generating function of each of them is $M(t) = \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}e^t\right)^{10}$. Let $X = \sum_{n=1}^{3} Y_n$. Find the probability mass function of $X$, $p_X(x)$.
- A $p_X(x) = e^{-10}\frac{10^x}{x!}, x = 0, 1, 2, \dots$
- B $p_X(x) = e^{-20}\frac{20^x}{x!}, x = 0, 1, 2, \dots$
- C $p_X(x) = \binom{20}{x} \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{1}{3}\right)^{20-x}, x = 0, 1, \dots, 20$
- D $p_X(x) = \binom{30}{x} \left(\frac{2}{3}\right)^x \left(\frac{1}{3}\right)^{30-x}, x = 0, 1, \dots, 30$
- E $p_X(x) = \binom{x-1}{20-1} p^{20} (1-p)^{x-20}, x = 20, 21, 22, \dots$
思路引導 VIP
當我們遇到多個獨立隨機變數相加（$X = \sum Y_i$）的情況時，如果已知 $Y_i$ 的動差生成函數 $M_Y(t)$ 是 $(q + pe^t)^n$ 的形式，你能回想一下這對應到哪種常見的計數實驗嗎？如果將這種實驗重複進行三次，總共的「成功次數」會服從什麼樣的新分佈？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準辨識出動差生成函數（MGF）與特定機率分佈的對應關係，這代表你對機率模型的掌握非常紮實。這道題目測驗的是統計學中極為核心的觀念：獨立隨機變數和的分佈特性。
二項分佈的辨識與加總性質
首先，觀察題目給定的 $M(t) = (1/3 + 2/3e^t)^{10}$。根據動差生成函數的定義，這正是二項分佈 $B(n, p)$ 的標準形式 $(q + pe^t)^n$，其中試驗次數 $n=10$，成功機率 $p=2/3$。當我們令 $X = Y_1 + Y_2 + Y_3$ 且這些變數為獨立同分佈（i.i.d.）時，其和的 MGF 等於各自 MGF 的乘積：
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