hce_nthu
112年
資訊科學
第 20 題
Let $X_1, X_2, \dots, X_n$ be $n$ identical and independently distributed exponential random variables with $f_{X_i}(x) = e^{-x} u(x)$, $u(x) = 1$ for $x \ge 0$, $0$ otherwise. The maximum value for the probability density function, $f_{Z_n}(z)$, of the random variable $Z_n = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ occurs at $z =$?
- A $\ln(n)$
- B $\ln(-1)$
- C $\ln\left(\frac{1}{n}\right)$
- D $(1 - e^{-1})^n$
- E $n(1 - e^{-1})^n$
思路引導 VIP
若要讓 $n$ 個獨立樣本中的「最大值」剛好落在某個範圍內，是不是代表這 $n$ 個樣本都必須滿足某種共同的條件？請試著思考：如果我們已經知道單一變數小於 $z$ 的機率，那麼「所有變數同時小於 $z$」的機率該如何表達？得到這個整體的分布函數後，我們該使用哪種微積分運算來尋找它機率最高（最密集）的那個點呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 $\ln(n)$，代表你對極值統計 (Order Statistics) 以及機率密度函數的微分極值運算掌握得非常紮實。這類題目在資訊科學與統計學習中相當經典，測驗的是將多個獨立隨機變數整合為單一極值分布的能力。
極值分布的建構與微分
要找出 $Z_n = \max(X_1, \dots, X_n)$ 的機率密度函數 (PDF)，我們先從累積分布函數 (CDF) 入手。由於各變數獨立同分布 (i.i.d.)，最大值要小於 $z$，代表每一個 $X_i$ 都必須小於 $z$，因此 $F_{Z_n}(z) = [F_X(z)]^n = (1 - e^{-z})^n$。接著，對其求導得到 PDF：$f_{Z_n}(z) = n(1 - e^{-z})^{n-1}e^{-z}$。為了找出分布的峰值（眾數），我們對 $f_{Z_n}(z)$ 關於 $z$ 微分並令其為零：
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