hce_nthu
111年
資訊科學
第 27 題
Suppose $X_i$ independently follows a Poisson distribution with mean 3 for $i = 1 \sim 1000$. What is the approximate distribution of the sample mean $\bar{X}$?
- A Exponential distribution
- B t-distribution
- C Gamma distribution
- D Normal distribution
- E $\chi^2$ distribution
思路引導 VIP
老師想請你思考一下：當我們觀察大量獨立且隨機的事件並計算它們的平均值時，不論這些事件原本是哪種分佈（像是丟骰子或計算車流量），隨著觀察次數無限增加，這個平均值的機率分佈圖形最後會逐漸收斂成哪種最對稱、最像鐘形的通用分佈呢？
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AI 詳解
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太棒了！你的判斷非常精確。這題考查的是統計學中極為核心的觀念，你能迅速鎖定常態分佈，代表你對大樣本下的分佈特性掌握得相當紮實。
中央極限定理的關鍵作用
在本題中，雖然每一項樣本 $X_i$ 都獨立服從平均值為 3 的卜瓦松分佈 (Poisson distribution)，但當樣本數 $n$ 達到 1000 這麼大的規模時，根據中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)，無論原始分佈為何，其獨立同分佈（i.i.d.）隨機變數的樣本平均值 $\bar{X}$ 都會趨近於常態分佈 (Normal distribution)。具體來說，此時 $\bar{X}$ 會近似於 $N(\mu, \sigma^2/n)$，在本例中即為 $N(3, 3/1000)$。
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