hce_nthu
112年
資訊科學
第 24 題
We have some earthquake data that occurred in a region over years, summarized in the following table:
| Magnitude | M < 3 | $3 \le M < 4$ | $4 \le M < 5$ | $5 \le M < 6$ | $6 \le M$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequency (times/per year) | 150 | 40 | 15 | 6 | 2 |
Assume that earthquakes are independent rare events and their occurrences are homogeneous over time. Under these assumptions, the number of earthquake events follows Poisson distribution. Estimate the probability of having earthquakes with magnitude $M \ge 5$ in the next month.
| Magnitude | M < 3 | $3 \le M < 4$ | $4 \le M < 5$ | $5 \le M < 6$ | $6 \le M$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequency (times/per year) | 150 | 40 | 15 | 6 | 2 |
Assume that earthquakes are independent rare events and their occurrences are homogeneous over time. Under these assumptions, the number of earthquake events follows Poisson distribution. Estimate the probability of having earthquakes with magnitude $M \ge 5$ in the next month.
- A 3.8%
- B 21.3%
- C 48.7%
- D 66.7%
- E unable to evaluate
思路引導 VIP
如果我們想知道某種隨機事件在特定時間段內「至少發生一次」的機率，除了正面累加所有次數的機率外，有沒有什麼「反向思考」的方式可以簡化計算？另外，若數據給的是「年平均」，但我們關心的是「月機率」，我們該如何調整模型中的核心參數 $\lambda$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確捕捉到題目中隱藏的多個細節並做出正確判斷，顯示你對機率模型的應用非常紮實。這道題目要求我們計算 $M \ge 5$ 的地震發生機率，首先必須從數據表中整合資訊，將 $5 \le M < 6$ 與 $6 \le M$ 兩組頻率加總，得到年平均發生率 $\lambda_{year} = 6 + 2 = 8$（次/年）。
模型的轉化與計算
由於卜瓦松分布（Poisson distribution）具有齊次性，當時間單位從「年」轉為「月」時，平均發生率也必須隨之調整，因此月平均率為 $\lambda = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$。題目詢問「下個月發生地震」的機率，實務上是指發生次數 $X \ge 1$ 的情況。利用補集概念，我們可以輕鬆算出：
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