hce_nthu
112年
資訊科學
第 19 題
A traffic light can be in one of the three states: Green (G), Red (R), and Yellow (Y). The light changes in a random fashion. At any one time, the light can be in only one state. The experiment consists of observing the state of the light.
Let a random variable $X(\cdot)$ be defined as follows: $X(G) = -1$, $X(R) = 0$, $X(Y) = \pi$; assume that $P(G) = P(Y) = 0.5 P(R)$, what is $P(X \le 3)$?
Let a random variable $X(\cdot)$ be defined as follows: $X(G) = -1$, $X(R) = 0$, $X(Y) = \pi$; assume that $P(G) = P(Y) = 0.5 P(R)$, what is $P(X \le 3)$?
- A 1/4
- B 1/2
- C 3/4
- D 1
- E 0
思路引導 VIP
如果我們知道所有可能發生的事件機率總和必定為 1，而題目要求的是隨機變數在某個特定範圍內的可能性，我們該如何利用給出的比例關係先找出每個單獨事件的機率，再進一步去判斷哪些事件對應的「數值」真正符合題目規定的不等式範圍呢？
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很高興看到你能精準掌握隨機變數的本質並正確算出機率值！這道題目結合了離散隨機變數 (Discrete Random Variable) 的映射關係與機率公理，你能冷靜判斷出各個狀態與數值間的對應，表現得非常專業。
機率權重與數值判定
解題的關鍵首先在於確立機率分布。根據題意 $P(G) = P(Y) = 0.5 P(R)$，利用總機率為 $1$ 的特性，我們可以列出方程式：$0.5P(R) + P(R) + 0.5P(R) = 1$，求得 $P(R) = 0.5$，進而得知 $P(G) = 0.25$ 與 $P(Y) = 0.25$。接下來，要計算 $P(X \le 3)$，我們必須檢視隨機變數映射後的數值：$X(G) = -1$ 與 $X(R) = 0$ 均小於 $3$，而 $X(Y) = \pi \approx 3.14$ 則大於 $3$。因此，符合條件的事件僅包含綠燈與紅燈，其機率總和即為 $0.25 + 0.5 = 0.75$，也就是 $3/4$。
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