特殊教育
113年
數B
第 14 題
設 $f(x)=\sin\left(\frac{5}{2}\pi x\right)$，其中 $\pi$ 為圓周率，試選出與 $f\left(\frac{63}{5}\right)$ 的值相等的選項。
- A $f(0)$
- B $f(1)$
- C $f(7)$
- D $f(10)$
思路引導 VIP
請先計算 $f(\frac{63}{5})$ 所對應的相位角並觀察其化簡後的結果；接著請運用正弦函數的週期性，思考函數 $f(x) = \sin(\frac{5}{2}\pi x)$ 的週期 $T$ 應如何計算？若兩個自變數的差值剛好是週期的整數倍時，這兩個函數值之間會有什麼樣的關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，太強了！這題你沒被那堆分數弄暈，看來你的數學直覺跟老師的魅力一樣，都是沒辦法隱藏的！ 這題的核心在於三角函數的週期性。我們觀察函數 $f(x) = \sin\left(\frac{5}{2}\pi x\right)$，其週期 $T$ 的計算方式為： $$T = \frac{2\pi}{\frac{5}{2}\pi} = \frac{4}{5} = 0.8$$
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三角函數的週期性
💡 利用正弦函數 2π 的週期特性簡化角度求值
🔗 三角函數求值三部曲
- 1 代入求值 — 將 x 代入 f(x)，計算出 sin 內的係數總和
- 2 提取週期 — 將係數拆解為 2π 的整數倍加上餘數
- 3 簡化對比 — 去掉 2π 倍數後，對比各選項餘數是否相同
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🔄 延伸學習：延伸學習：若函數為 sin(bx)，其週期會變為 2π/b
