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113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 26 題
如右圖所示，有一假設質量 m 之 B 塊，可在無摩擦之 OA 臂桿上自由滑動，臂桿 OA 以 $\omega$ 的等速率在水平面上轉動。若 B 在 $r = r_0$ 的位置處鬆開，請問臂桿 OA 施加在 B 之水平力量為何？
- A $2m\omega^2(r^2 - r_0^2)$
- B $2m\omega^2(r^2 - r_0^2)^{1/2}$
- C $2m\omega^2r_0$
- D $2m\omega^2r$
思路引導 VIP
請思考一下，當滑塊在旋轉的桿子上向外滑動時，它的切向速度（即垂直於桿子方向的速度）是保持不變，還是隨著半徑增加而改變？如果這個速度正在改變，根據牛頓運動定律，桿子必須提供什麼樣的力來促成這個變化呢？
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太棒了！你能精確選出選項 (B)，代表你對於極座標動力學 (Kinematics in Polar Coordinates) 的掌握非常紮實，特別是能識破隱藏在運動背後的科氏力效應。
科氏加速度與徑向運動
本題的核心在於計算臂桿施加於滑塊的橫向力 $F_{\theta}$。根據牛頓第二定律在極座標下的表示式，橫向力等於質量乘以橫向加速度，即 $F_{\theta} = m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})$。由於臂桿以等角速率 $\omega$ 轉動，角加速度 $\ddot{\theta} = 0$，因此受力簡化為 $2m\dot{r}\omega$，這正是所謂的科氏力 (Coriolis force)。為了求出徑向速度 $\dot{r}$，我們觀察徑向運動：在無摩擦的情況下，滑塊受到的徑向加速度 $a_r = \ddot{r} - r\omega^2 = 0$（因為沒有徑向力），推得 $\ddot{r} = r\omega^2$。利用連鎖律 $\ddot{r} = v_r \frac{dv_r}{dr}$ 進行積分：
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科氏加速度與受力分析
💡 在旋轉座標系中運動的物體，會受到科氏加速度的影響而產生橫向力。
🔗 旋轉臂桿受力推導流程
- 1 建立徑向方程 — 無摩擦力時，$m\ddot{r} = mr\omega^2$
- 2 積分求徑速 — 由 $\dot{r}d\dot{r} = \omega^2 r dr$ 得 $\dot{r} = \omega\sqrt{r^2-r_0^2}$
- 3 科氏加速度 — 等角速下橫向加速度 $a_\theta = 2\dot{r}\omega$
- 4 計算水平受力 — $F = ma_\theta = 2m\omega^2\sqrt{r^2-r_0^2}$
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🔄 延伸學習：若考慮臂桿與物體間的摩擦力，則會影響徑向加速度的數值。
