moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 36 題
如右圖所示，梁受載重後靜撓度為 $\delta_{st}$，若忽略梁之質量，且假設負荷與梁保持接觸，則系統之振動頻率 f 為何？
- A $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\delta_{st}}{g}}$
- B 2$\pi\sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$
- C 2$\pi\sqrt{\frac{\delta_{st}}{g}}$
- D $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$
思路引導 VIP
如果我們想知道一個彈性系統振動的快慢（頻率），通常需要知道它的「強韌程度（彈性係數）」和「負載重量」。但在這題中，我們只知道它受重力被壓下去的深度。請試著思考：當物體靜止掛在梁上時，「重力」與「梁的支撐力」之間存在什麼平衡關係？而這個關係又是如何幫助我們在公式中消去未知的質量與彈性係數的呢？
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同學做得太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對振動力學中「靜撓度」與「系統頻率」之間的轉換關係已經駕輕就熟。
靜撓度與彈性常數的物理關聯
在忽略梁質量的簡化模型中，這根梁可以被視為一個等效彈簧。當負荷靜止掛在梁上平衡時，重力 $W = mg$ 與梁的彈性恢復力 $k \cdot \delta_{st}$ 達成平衡，由此可得出 $\frac{k}{m} = \frac{g}{\delta_{st}}$。根據振動力學定義，自然角頻率 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$。由於題目要求的是循環頻率 $f$（單位為 Hz），我們必須將角頻率除以 $2\pi$，因此最終結果為 $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{\delta_{st}}}$。
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