ast_essay
114年
物理
第 26 題
📖 題組：
在半導體製程中需要有曝光機（光源），將光罩上的線路圖形縮小投影成像到晶圓上。已知常用的光源波長有紫外光（UV）436 nm、365 nm，深紫外光（DUV）248 nm、193 nm 及極紫外光（EUV）13.5 nm。某半導體公司在研發半導體製程中，曾在晶圓與光源間注入純水，利用波長 193 nm 曝光機在晶圓上製得比使用乾式 157 nm 曝光機更小的線路線寬。 光在單位面積單位時間內通過的能量值稱為光的強度。光在水中傳播時，其強度 $I$ 會隨傳播距離 $z$ 的增加而衰減，關係式為 $I = I_0 e^{-\alpha z}$，其中 $\alpha$ 為衰減係數、$I_0$ 為起始強度、$e$ 為自然常數（近似值 2.7，其倒數 $e^{-1} \approx 0.37$）。圖 10 是水的吸收光譜，橫軸為光源的原始波長，縱軸為光在水中的衰減係數。圖 10 中橫軸與縱軸為對數坐標，坐標軸上刻度的位置是由坐標軸刻度數值取以 10 為底的對數值而決定。 綜上所述，回答下列問題。
在半導體製程中需要有曝光機（光源），將光罩上的線路圖形縮小投影成像到晶圓上。已知常用的光源波長有紫外光（UV）436 nm、365 nm，深紫外光（DUV）248 nm、193 nm 及極紫外光（EUV）13.5 nm。某半導體公司在研發半導體製程中，曾在晶圓與光源間注入純水，利用波長 193 nm 曝光機在晶圓上製得比使用乾式 157 nm 曝光機更小的線路線寬。 光在單位面積單位時間內通過的能量值稱為光的強度。光在水中傳播時，其強度 $I$ 會隨傳播距離 $z$ 的增加而衰減，關係式為 $I = I_0 e^{-\alpha z}$，其中 $\alpha$ 為衰減係數、$I_0$ 為起始強度、$e$ 為自然常數（近似值 2.7，其倒數 $e^{-1} \approx 0.37$）。圖 10 是水的吸收光譜，橫軸為光源的原始波長，縱軸為光在水中的衰減係數。圖 10 中橫軸與縱軸為對數坐標，坐標軸上刻度的位置是由坐標軸刻度數值取以 10 為底的對數值而決定。 綜上所述，回答下列問題。
在圖 10 中，若當光在水中傳遞 10 cm 後，其強度至少仍有起始強度的 0.37 倍，則可能的波長範圍為何？即 $\lambda_L < \lambda < \lambda_H$，求 $\lambda_L$ 及 $\lambda_H$。（須有說明或計算過程）（4 分）
思路引導 VIP
本題測驗指數衰減模型的理解與對數座標圖的判讀。解題切入點是將條件「強度至少仍有起始強度的 0.37 倍」轉換為數學不等式：$I \ge 0.37 I_0$。由於 $0.37 \approx e^{-1}$，故可得 $e^{-\alpha z} \ge e^{-1}$。代入 $z = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$，求得衰減係數 $\alpha$ 的上限（$\alpha \le 10 \text{ m}^{-1}$）。最後，在題目提供的雙對數座標圖中，找到縱軸 $\alpha = 10^1$ 所對應的橫軸波長區間，即可求出 $\lambda_L$ 與 $\lambda_H$ 的範圍。
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指數衰減與臨界條件推導
這題的核心在於將強度關係式 $I = I_0 e^{-\alpha z}$ 結合實驗條件。題目要求強度至少要有起始強度的 $0.37$ 倍，而 $0.37$ 恰好近似於 $e^{-1}$，因此我們可以建立不等式 $e^{-\alpha z} \geq e^{-1}$。這進一步推導出 $\alpha z \leq 1$。這裡有一個關鍵的細節：衰減係數 $\alpha$ 的單位是 $\text{m}^{-1}$，所以我們必須將傳遞距離 $z = 10 \text{ cm}$ 換算為 $0.1 \text{ m}$。帶入後得到 $0.1 \alpha \leq 1$，即衰減係數 $\alpha \leq 10 \text{ m}^{-1}$。
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