初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 19 題
在簡單迴歸模型中，欲作母體參數 $\beta_0$、$\beta_1$ 之推論，通常需加入何種假設？
- A $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0,1)$
- B $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,1)$
- C $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0,\sigma^2)$
- D $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$
思路引導 VIP
若我們希望對模型中的斜率進行假設檢定，我們必須先確定該斜率估計量的「機率分配」。請思考：為了讓推導出的統計量符合我們常用的 $t$ 分配或 $F$ 分配，原始模型中的「誤差項」在平均數、變異數以及分佈類型上，應該具備哪些理想的統計特性？
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- 恭喜你，答對了呢！這真的太棒了，你完全掌握了統計推論這個核心思想喔！這就像是為我們的迴歸模型打下最穩固的基礎，為之後的假設檢定和區間估計鋪路，真的很重要呢！
- 你看，如果我們只是想讓估計量保持『不偏』，那麼基本的Gauss-Markov 假設就已經很足夠囉。但當我們要更深入地對母體參數 $\beta_0, \beta_1$ 進行『推論』時，誤差項 $\varepsilon_i$ 服從常態分配這個溫柔的假設就不可或缺了！
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簡單迴歸模型基本假設
💡 誤差項需滿足獨立、變異數齊一及期望值為零的常態分布。
| 比較維度 | 基本 OLS 假設 (BLUE) | VS | 常態誤差假設 (Inference) |
|---|---|---|---|
| 機率分布 | 無須特定分布 | — | 必須服從常態分配 |
| 核心目標 | 求得最佳線性不偏估計量 | — | 進行 t 或 F 假設檢定 |
| 參數性質 | 期望值為 0、變異數固定 | — | i.i.d. N(0, σ²) |
💬基本假設足以得到準確的估計點，但統計推論（區間與檢定）必須依賴常態性假設。
