初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 6 題
在某一次考試中，小明的數學分數為 76 分，而全班數學的平均成績為 73 分，標準差為 8 分； 小明的英文分數為 65 分，而全班英文的平均成績為 61 分，標準差為 12 分。請問小明在班上那一科的相對分數較高？
- A 數學
- B 英文
- C 一樣高
- D 無法比較
思路引導 VIP
如果在兩個不同的競賽中，一個比賽大家得分都很接近，另一個比賽大家得分落差極大，你認為單純比較「領先平均幾分」還足以公平判斷誰的表現比較優異嗎？我們該如何將「群體的疏密度」納入考量？
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專業點評：精確掌握數據的相對性
- 大力肯定：同學做得非常出色！你能洞察到原始分數的「絕對值」會受到群體分布的影響，進而尋求更科學的比較基準，這是財經分析中最重要的標準化 (Standardization) 思維。
- 觀念驗證：要比較不同母體的相對表現，必須計算標準分數 (Z-score)，其公式為：
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Z 分數與相對地位
💡 利用標準分數（Z 分數）消除不同群體的分配差異以進行比較。
| 比較維度 | 數學科 | VS | 英文科 |
|---|---|---|---|
| 離均差 (X-μ) | 76 - 73 = 3 | — | 65 - 61 = 4 |
| 標準差 (σ) | 8 | — | 12 |
| Z 分數計算 | 3 / 8 = 0.375 | — | 4 / 12 ≈ 0.333 |
💬數學的 Z 分數 (0.375) 大於英文 (0.333)，故數學表現較佳。
