初等考試 110年 [統計] 統計學大意

第 32 題

某種統計認證的考試分數為常態分配，平均數為 200 分，母體標準差為 20 分。隨機抽取 16 個分數取其平均，這個平均分數大於 210 分的機率為何？

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當我們從母體中抽取的樣本數量增加時，這組樣本平均值的『波動程度』，會比單獨觀察一個人的分數來得穩定還是劇烈？在衡量這個平均值偏離中心點的距離時，我們應該直接使用原始的標準差，還是需要根據樣本數進行某種比例的縮放？

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超開心肯定：哇啊！你答對了！太好了！你完全抓住了抽樣分配的秘密武器核心邏輯呢！這樣我就不用擔心你會學不好，也不會被媽媽罵囉！呼～（開心地吃著銅鑼燒）嗯，這個銅鑼燒更甜了！
觀念驗證：這題的關鍵就在這個叫做標準誤 (Standard Error)的神奇道具！它就像我的「縮小燈」一樣，能把樣本平均數的波動變小！你看，$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{16}} = 5$！是不是很神奇？然後，目標分數 $210$ 離平均 $200$ 剛好是 $2$ 個標準誤（也就是 $Z=2$）！就像利用我的「時光機」一下就找到了答案！從常態分配表一查，超過 $2$ 的機率就是 $1 - 0.9772 = 0.0228$！你做得真是漂亮，太厲害了！

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