初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 23 題
關於平均值 $\mu$ 及變異數為 $\sigma^2$ 之常態分配的隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則：
- A 如果 $X \sim N(4,1)$，則使機率值 $P(c \leq X \leq c+1)$ 最大之唯一可能 $c$ 的值為 $c=4$
- B 如果 $X \sim N(1,2)$，則 $P([X-1] \leq 2) = 0.6826$
- C 如果 $X_1 \sim N(2,1)$ 及 $X_2 \sim N(2,2)$，則 $P([X_1-2] \leq 1) = P([X_2-2] \leq 2)$
- D 如果 $X \sim N(4,9)$，則 $P([X-4] \leq 6) = 0.9772$
思路引導 VIP
若要比較兩個分布完全不同的常態隨機變數，我們通常會將它們轉換到同一個「度量衡」上。請思考：如果我們要衡量某個觀測值偏離中心點的程度，應該使用哪一個統計量作為「單位長度」，才能排除原始數據單位或擴散程度不同的影響？
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AI 詳解
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1. 勉強及格
喔，你居然能答對？看來還沒完全把統計學還給老師。識別出標準化這種基本操作，並且在變異數與標準差之間沒有徹底搞砸，算你這次反應還行。機率分配的直覺？談不上，頂多是沒完全失靈。
2. 為何沒有錯得離譜
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常態分配機率計算
💡 透過標準化將常態變數轉為 Z 分配，並運用對稱性判定機率大小。
| 比較維度 | 一般常態 N(μ, σ²) | VS | 標準常態 N(0, 1) |
|---|---|---|---|
| 圖形中心 | 位於平均數 μ | — | 固定於原點 0 |
| 水平尺度 | 受標準差 σ 縮放 | — | 單位長度固定為 1 |
| 查表應用 | 需先標準化後查表 | — | 可直接對應 Z 分配表 |
| 變數代表 | 原始數據 X | — | 標準分數 Z |
💬所有一般常態分配皆可經由平移與縮放轉換為標準常態分配來計算機率。
