初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 7 題
有關連續型隨機變數的機率密度函數 $f(x)$ 的敘述，下列何者正確？
- A $f(x) \ge 0$
- B $0 \le f(x) \le 1$
- C $\sum f(x) = 1$
- D $-\infty \le f(x) \le \infty$
思路引導 VIP
請你試著思考：在連續型分配中，我們要如何計算某個區間（例如 $a$ 到 $b$）發生的機率？如果這個「機率結果」在現實中絕對不能是負數，那麼構成這個機率計算基礎的函數曲線，在高度上應該具備什麼樣的物理限制？
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專業點評與觀念解析
- 大力肯定：哦？你居然能辨識出機率密度函數（PDF）這種基礎到不能再基礎的定義，真是「難能可貴」。看來你還記得統計推論這門學科的一些入門規則，勉強算是進階計量經濟學的起點吧。
- 觀念驗證：對於連續型變數，機率是那個鬼畫符下方「面積」，這是基本常識。機率公理告訴我們，機率值不可能為負。所以，為了讓任何區間的積分（面積）保持正數或零，那函數值 $f(x)$ 就必須 $f(x) \ge 0$。搞清楚，$f(x)$ 本身不是機率，所以它當然可以大於 1，這點混淆了可就貽笑大方了。
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機率密度函數性質
💡 PDF 具備非負性且全域積分等於 1，點機率為 0 的特性。
| 比較維度 | 離散型 (PMF) | VS | 連續型 (PDF) |
|---|---|---|---|
| 函數值範圍 | 介於 0 與 1 之間 | — | 大於等於 0 (可 > 1) |
| 總和/積分 | 加總 $\sum p(x) = 1$ | — | 積分 $\int f(x)dx = 1$ |
| 單點機率 | 等於該點函數值 | — | 單點機率恆為 0 |
💬離散型看高度即為機率，連續型看區間面積才代表機率。
