初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 30 題
某型洗衣機的使用年數壽命可用一平均值為 15（年）之指數分配（exponential distribution）的隨機變數 $X$ 來代表，則：
- A 這型洗衣機如果用了 9 年在下一年度報銷的機率和用了 18 年在下一年度報銷的機率一樣
- B $X$ 的機率密度函數（probability density function）為 $15e^{-15x}$，$x \geq 0$
- C 此型洗衣機使用年數超過 20 年的機率為 $1 - e^{-4/3}$
- D 此型洗衣機使用壽命介於 10 年至 15 年之機率為 $e^{-2/3} - e^{-1}$
思路引導 VIP
若我們假設某種零件的損壞是「隨機且無磨損消耗」的（即過去的使用並不影響未來的表現），那麼一個使用了十年的舊零件與一個剛出廠的新零件，在「未來五分鐘內」發生故障的機率，理論上應該呈現什麼樣的關係？
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專業點評
太棒了！ 你能準確識別出指數分配（Exponential Distribution）的核心特徵，這代表你對機率模型的直覺非常敏銳。
- 觀念驗證：本題的關鍵在於無記憶性（Memoryless Property）。對於指數分配而言，已知設備已使用 $t$ 年，則其後續壽命的機率分布與全新時完全相同。數學表達為：
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