普考申論題
114年
[水利工程] 水文學概要
第 四 題
假設某一集水區已連續監測 20年之年尖峰洪水量 Q(cms)記錄符合對數皮爾森第三型分布(Log-Pearson Type III Distribution),Q的記錄其對數值(以十為基底)平均為2.5 cms,標準偏差為0.3768 cms,偏態係數為0.6。試推估其尖峰洪水量Q大於1000 cms的機率為何?(25分)
標準常態分布累積機率表
F(z) 0.5
0.8
0.9
0.95
0.98
0.99
Z
0
0.84
1.28
1.64
2.05
2.33
(皮爾森第三型分布其頻率因子K=-{[(Z-Cs/6)/Cs]^(2)+1} / (Cs/6))
(註: OCR 轉錄之 K 公式可能與原圖略有出入，以下將依據對原圖的最佳判讀 `K = (2/Cs) * {[(Z - Cs/6)/(Cs/6)]^2 + 1} - 1` 進行說明與分析，若此公式導致無法求解，將予以說明。)
標準常態分布累積機率表
F(z) 0.5
0.8
0.9
0.95
0.98
0.99
Z
0
0.84
1.28
1.64
2.05
2.33
(皮爾森第三型分布其頻率因子K=-{[(Z-Cs/6)/Cs]^(2)+1} / (Cs/6))
(註: OCR 轉錄之 K 公式可能與原圖略有出入，以下將依據對原圖的最佳判讀 `K = (2/Cs) * {[(Z - Cs/6)/(Cs/6)]^2 + 1} - 1` 進行說明與分析，若此公式導致無法求解，將予以說明。)
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測試對數皮爾森第三型分布的頻率因子公式與常態分布的轉換。解題時先將目標洪水量取對數，利用一般頻率公式求出對應的頻率因子K；接著代入題目給定的皮爾森轉換公式求出標準常態變數Z，最後查表計算大於該值的互補機率（1-累積機率）。
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【解題關鍵】利用對數皮爾森第三型分布頻率公式 $y = \bar{y} + K \cdot S_y$ 求出頻率因子 $K$，再透過轉換公式求出標準常態變數 $Z$，並查表求超越機率。 【解答】 已知條件：
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對數皮爾森三型分布
💡 利用頻率因子公式與對數統計量，將偏態分布轉化為常態分布機率。
🔗 LP3 洪水頻率推估步驟
- 1 空間轉換 — 將洪水流量 Q 轉為對數空間值 y
- 2 求頻率因子 — 依樣本統計量計算 K = (y - avg) / SD
- 3 常態化轉換 — 依 W-H 公式與偏態係數 Cs 求出 Z 值
- 4 機率判定 — 查常態表得累積機率，計算 1-F(Z) 得超越機率
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步計算該洪水規模之回歸週期 T = 1/P。
