高考申論題
114年
[土木工程] 材料力學
第 四 題
圖 4 梁之 A 端為固定端，B 端支撐於一勁度為 k 之垂直向彈簧。梁長L = 2 m ，梁斷面為10 cm 乘10 cm 之正方形斷面。梁材料之彈性模數（ modulus of elasticity ） 為 200 GPa 。 今 已 知 該 梁 桿 件 每 公 尺 受q = 1000 N/m （已含自重）之均布載重作用後，B 端之垂直向彈簧產生250 N軸力，請求出該彈簧之勁度 k，以及該梁內部因彎矩而產生之最大正向應力。（25 分）
📝 此題為申論題
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本題雖為彈簧支撐的超靜定梁，但因已給定彈簧受力（250 N），可直接將其視為作用於懸臂梁 B 端的已知外力，使問題轉化為靜定結構。解題時，先利用靜力平衡求出全梁彎矩方程式並找出最大彎矩以計算最大正向應力；接著透過尤拉-白努力梁之微分方程式求出 B 端變形量，再以虎克定律即可反求彈簧勁度 k。
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【解題思路】已知彈簧受力，可將問題轉化為受已知端點力之靜定懸臂梁。先利用靜力平衡建立彎矩方程式求最大應力，再以尤拉-白努力梁之微分方程式（二重積分法）求出 B 端撓度，最後依虎克定律求彈簧勁度 k。 【詳解】 已知條件整理：
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梁變形與彈簧勁度分析
💡 結合靜力平衡、梁撓曲微分方程及虎克定律，求解結構內力與變位。
🔗 結構力學分析邏輯鏈
- 1 斷面與力平衡 — 計算 I 值，由平衡方程求支承反力與 M(x)
- 2 撓度方程式 — 對 EIy''=M(x) 連續積分兩次求位移函數
- 3 邊界條件約束 — 代入固定端 (x=0) 之位移與轉角為零求解
- 4 物理量輸出 — 依變位求 k 值，依最大彎矩求最大正向應力
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🔄 延伸學習：延伸學習：若為靜不定問題，可利用變位協合條件（Compatibility）求解。
