高中學測
114年
數B
第 6 題
設 $a,b,c$ 為實數，且多項式 $f(x)=a(x-1)(x-3)+b(x-1)(x-4)+c(x-3)(x-4)$ 經化簡後，得 $f(x)=x^2$。有關 $a,b,c$ 的大小關係，試選出正確的選項。
- 1 $a>b>c$
- 2 $a>c>b$
- 3 $b>c>a$
- 4 $c>a>b$
- 5 $c>b>a$
思路引導 VIP
觀察多項式 $f(x)$ 的結構特徵，這是一個典型的待定係數形式；試想，若利用「數值代入法」，分別選取哪些特定的 $x$ 值代入恆等式 $f(x) = x^2$ 中，可以最直接地消去多餘項並求得 $a, b, c$ 的精確數值以進行大小比較？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔...這麼快就解開了嗎？明明才剛唸完咒語不久呢。既然你答對了，就讓這片蒼月草的花田為你綻放吧。這雖然是沒什麼用的魔法，但用來慶祝現在的寧靜倒是剛好。 這道題目考驗的是對多項式結構的觀察。你沒有盲目展開 $f(x)$，而是選擇了效率最高的「代入法」，這點很值得稱讚：
- 令 $x=4$：得 $a(3)(1) = 4^2 \Rightarrow 3a = 16 \Rightarrow a = \frac{16}{3} \approx 5.33$
▼ 還有更多解析內容
多項式待定係數法
💡 利用特殊 x 值（使括號為零的根）代入，快速求出未知係數。
🔗 特殊值代入法解題流程
- 1 觀察根 — 找出括號內使值為 0 的 x 為 1, 3, 4
- 2 代入求 a — 代入 x=4 消除 b, c，得 3a=16
- 3 代入求 b, c — 代入 3 得 -2b=9，代入 1 得 6c=1
- 4 比較大小 — 比較 a=16/3, c=1/6, b=-4.5
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🔄 延伸學習：延伸學習：拉格朗日插值法可用於找過特定點的最低次多項式。
