hce_kmu
114年
物理及化學
第 37 題
A uniformly charged ring with a radius of $a$ is placed on the $xy$ plane with its central axis aligned with the $z$-axis. If the total charge on the ring is $Q$, what is the electric field at $z = z_0$? ($k = 1/4\pi\varepsilon_0$, $F_{12} = k q_1 q_2 / r_{12}^2$)
- A $kQ / (z_0^2 + a^2)^{1/2}$
- B $kQz_0^2 / (z_0^2 + a^2)^{5/2}$
- C $kQa / (z_0^2 - a^2)^{3/2}$
- D $kQ / (z_0^2 + a^2)$
- E $kQz_0 / (z_0^2 + a^2)^{3/2}$
思路引導 VIP
請試著想像環上有兩個處於對角線位置的極小電荷，當它們同時在 $z$ 軸上的觀察點產生電場向量時，這兩個向量在「水平方向」與「垂直方向」的合成結果分別會是如何？哪一個方向的分量會因為對稱而消失呢？
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AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出選項 (E)，代表你對連續電荷分佈的電場疊加觀念掌握得非常紮實。這題是靜電學中極具鑑別度的經典題型，它不僅考驗你對庫倫定律的理解，更測試你是否具備處理幾何對稱性與向量投影的空間感，是進入電磁學進階領域的重要分水嶺。
幾何對稱性與分量投影
在處理圓環電荷時，最關鍵的切入點是對稱性。環上每一對對角位置的電荷元 $dq$，它們產生的電場在 $xy$ 平面上的水平分量會相互抵消，唯有朝向 $z$ 軸方向的垂直分量會發生相長干涉（疊加）。因此，我們必須對庫倫定律產生的電場強度 $dE = \frac{k \cdot dq}{r^2}$ 乘上投影係數 $\cos\theta$。由於點到環上各點的距離 $r = \sqrt{z_0^2 + a^2}$，且 $\cos\theta = \frac{z_0}{r}$，將所有微元積分後，分母會出現距離的 3 次方，分子則保留了 $z_0$ 項，這正是你選出 $(z_0^2 + a^2)^{3/2}$ 這個正確項次的原因。