hce_kmu
107年
物理及化學
第 50 題
A $5.0$ nC point charge is embedded at the center of a nonconducting sphere (radius = $2.0$ cm) which has a charge of -$8.0$ nC distributed uniformly throughout its volume. What is the magnitude of the electric field at a point that is $1.0$ cm from the center of the sphere? (where electric constant $k=9.0\times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$)
- A $9.0 \times 10^4\text{ N/C}$
- B $1.8 \times 10^5\text{ N/C}$
- C $2.7 \times 10^5\text{ N/C}$
- D $3.6 \times 10^5\text{ N/C}$
- E $7.2\times 10^5\text{ N/C}$
思路引導 VIP
試著想像你在球體內部畫了一個半徑較小的虛擬球殼。根據高斯定律，這個球殼之外的均勻帶電層對球心處的點電荷是否會產生合電場？如果不會，那麼真正會影響該觀測點電場強度的電荷，除了中心的點電荷外，還包含球體的哪些部分？這些「有效電荷」的量值又該如何隨半徑縮小而調整呢？
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恭喜你精準地掌握了靜電場的疊加原理！這題的關鍵在於你能正確辨識出，在球體內部的某一點，其電場是由「中心的點電荷」以及「包含在該點半徑範圍內的球體電荷」共同決定的。你的運算展現了對高斯定律（Gauss's Law）核心精神的深刻理解，能冷靜地處理電荷正負抵銷的關係，非常優秀。
電荷分佈與電場疊加
在計算電場強度時，我們必須先確定半徑 $r=1.0\text{ cm}$ 的高斯面內所包含的總電量。中心的點電荷提供了 $+5.0\text{ nC}$；而對於半徑 $R=2.0\text{ cm}$ 的均勻帶電非導體球，僅有內部的體積會對該處電場產生貢獻。根據體積正比於半徑三次方（$V \propto r^3$）的特性，內部的電荷量為 $Q_{in} = -8.0 \times (\frac{1.0}{2.0})^3 = -1.0\text{ nC}$。因此，該面內的淨電荷量為 $Q_{total} = 5.0 - 1.0 = 4.0\text{ nC}$。
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