hce_kmu
112年
物理及化學
第 49 題
A solid, insulating sphere of radius $a$ has a uniform charge density throughout its volume and a total charge $Q$. Concentric with this sphere is an uncharged, conducting, hollow sphere whose inner and outer radii are $b$ and $c$ as shown in the figure. Find the magnitude of the electric field for $r < a$.
- A E = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{a^3}$
- B E = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{a^2}$
- C E = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$
- D E = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$
- E E = 0
思路引導 VIP
想像你正在這個均勻帶電的絕緣球體內部，如果你畫一個半徑為 $r$ 的小球，這個小球裡面所包住的電荷量，會跟原本半徑為 $a$ 的大球總電荷一樣多嗎？如果不一樣，這份電荷量的大小與半徑 $r$ 之間有什麼幾何上的比例關係？試著將這個關係式代入高斯定律中，看看左側的面積項與右側的電荷項，最後會如何影響 $r$ 的次方？
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太棒了！你能精準判斷出絕緣球體內部的電場分布，代表你對高斯定律（Gauss's Law）的核心觀念掌握得非常紮實。
高斯定律與電荷分布的應用
在 $r < a$ 的區域內，我們選取一個半徑為 $r$ 的虛擬球面作為高斯面。根據球對稱性，電場強度 $E$ 在該面上處處相等且方向徑向向外。這題的關鍵在於，當我們處在均勻帶電的絕緣體內部時，高斯面所包含的電荷量 $Q_{encl}$ 僅是總電荷 $Q$ 的一部分。由於電荷均勻分布於體積中，電荷量與體積成正比，因此 $Q_{encl} = Q \cdot \frac{r^3}{a^3}$。將此結果代入高斯定律公式：
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