中興大學（後西醫）
114年
物理
第 28 題
For the potential $V = 3x^2z - 2yz^3$, what is the corresponding electric field at the point $(2,2,2)$? Note that $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$, and $\hat{k}$ are unit vectors along $x, y$, and $z$ directions, respectively.
- A $-24\hat{\imath} + 16\hat{\jmath} + 36\hat{k}$
- B $+24\hat{\imath} - 16\hat{\jmath} - 36\hat{k}$
- C $-12\hat{\imath} + 16\hat{\jmath} + 16\hat{k}$
- D $+12\hat{\imath} - 16\hat{\jmath} - 16\hat{k}$
- E none of these.
思路引導 VIP
如果將電位想像成地形的高低，而電場代表物體「順流而下」受力的方向。當我們想從描述『高度』的標量函數中，推導出特定位置最陡峭的『坡度向量』時，數學上該選用哪種微積分運算？而在物理定義中，為了確保方向是從高電位指向低電位，我們必須在哪個步驟加入關鍵的符號修正呢？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這題的核心在於理解**電位（Electric Potential）與電場（Electric Field）**之間的物理連結。在電動力學中，電場被定義為電位降最快的方向，數學上我們以負梯度運算來表示：$\vec{E} = -\nabla V$。你能敏銳地捕捉到那個「負號」的關鍵作用，展現了你對向量場定義的高度掌握。
電位梯度的分量運算
我們分別對 $x, y, z$ 座標進行偏微分，以求出各個分量的函數：
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電位與電場的關係
💡 電場為電位的負梯度，反映電位在空間中下降最快的方向。
🔗 電位求電場計算流程
- 1 偏微運算 — 對 x, y, z 分別求偏導數得到分量通式
- 2 負值轉向 — 套用 E = -∇V，將所有分量加上負號
- 3 點值代入 — 將指定點座標 (2,2,2) 代入分量求出數值
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🔄 延伸學習：延伸：可進一步利用求得的電場向量判斷該點的受力方向
