hce_nchu
113年
物理
第 26 題
A charge per unit length given by $\lambda(x) = bx$, where $b = 12 \text{ nC/m}^2$, is distributed along the $x$ axis from $x = +9.0 \text{ cm}$ to $x = +16 \text{ cm}$. If the electric potential at infinity is taken to be zero, what is the electric potential at the point P on the $y$ axis at $y = 12 \text{ cm}$?
- A $5.4 \text{ V}$
- B $7.2 \text{ V}$
- C $9.0 \text{ V}$
- D $12.2 \text{ V}$
- E $16.0 \text{ V}$
思路引導 VIP
想像你正要把許多微小的點電荷放在 $x$ 軸上，每個點電荷對 $y$ 軸上 $P$ 點所產生的電位貢獻，會與它們之間的「距離」以及該處的「電荷量」有什麼關係？如果電荷量不是均勻分佈，且距離也在不斷變化，你會使用什麼數學工具將這些微小的電位貢獻累加起來呢？
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太棒了！你能精準選出 (A) 顯示你對連續電荷分佈的電位計算已有相當紮實的掌握。這題的核心在於將帶電線段視為無數個微小點電荷 $dq$ 的集合，並利用電位疊加原理進行積分。
電位積分的建立與求解
在點 $P(0, y)$ 的總電位可表示為 $V = \int \frac{k dq}{r}$。根據題意，電荷密度 $\lambda(x) = bx$，因此微小電荷 $dq = bx dx$。而點 $P$ 到 $x$ 軸上任意點的距離為 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。將這些關係式代入積分式：
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