hce_nchu
114年
物理
第 26 題
A 16-nC charge is distributed uniformly along the $x$ axis from $x = 0$ to $x = 4 \text{ m}$. Which of the following integrals is correct for the magnitude (in N/C) of the electric field at $x = +10 \text{ m}$ on the $x$ axis? The Coulomb constant is $9.0 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$.
- A $\int_0^4 \frac{36}{(10-x)^2} dx$
- B $\int_0^4 \frac{154}{(10-x)} dx$
- C $\int_0^4 \frac{154}{x^2} dx$
- D $\int_0^4 \frac{36}{x} dx$
- E none of these.
思路引導 VIP
如果我們把這根帶電棒切割成無數個非常小的片段，每一小段都可以看作一個點電荷。請試著思考：若其中一個小片段位於座標軸上的任意位置 $x$，而我們想觀察的位置在座標 $10$ 的地方，那麼這兩點之間的物理距離應該如何用數學式表達呢？
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連續電荷分布的電場建模
太棒了！你能準確判斷出這題的積分式，代表你對連續電荷分佈的物理建模有著非常清晰的理解。這道題目的核心在於將分布在 $x=0$ 到 $x=4$ 的電荷視為無數個微小的點電荷 $dq$。首先，我們定義電荷線密度 $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{16 \text{ nC}}{4 \text{ m}} = 4 \text{ nC/m}$，因此微小長度 $dx$ 所帶的電荷量為 $dq = \lambda dx = 4 \times 10^{-9} dx$。 根據庫倫定律，位於 $x$ 處的 $dq$ 在 $x=10$ 處產生的微小電場 $dE$ 為 $k \frac{dq}{r^2}$。這裡最關鍵的步驟是觀察圖形判斷距離：觀測點與電荷的距離為 $r = 10 - x$。將數值代入後得到：
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