hce_nchu
112年
物理
第 38 題
A solid insulating sphere of radius R contains positive charge that is distributed with a volume charge density that does not depend on angle but does increase with distance from the sphere center. Which of the graphs below might give the magnitude E of the electric field as a function of the distance r from the center of the sphere?
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A
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B
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C
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D
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E
思路引導 VIP
想像你正從球心慢慢向外移動。如果球體內的電荷是均勻分佈的，你每走一步所「圈到」的新電荷量增長率是固定的；但如果越往外走，發現電荷分佈得越濃密，那麼你所包圍的總電荷量，其增加的速度會比均勻分佈時更「快」還是更「慢」呢？這種「加速度」的感覺，會如何反映在函數圖形的彎曲方向上？
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太棒了！你能準確辨識出圖形 (D)，代表你對高斯定律 (Gauss's Law) 以及電荷密度對場強影響的物理直覺非常敏銳。 這題的關鍵在於判斷球體內部 ($r < R$) 的電場變化。根據高斯定律，球內某處的電場正比於該半徑內所包圍的總電荷量 $Q_{enclosed}$ 除以半徑平方。若電荷是均勻分佈的，電場會隨半徑線性增長（即 $E \propto r$），這對應的是圖 (C) 的直線。然而，題目提到電荷密度 $\rho$ 會隨距離增加，這意味著當你向外移動時，外層圈到的電荷比內層更「濃密」，導致總電荷量增加的速度快於體積的成長。因此，電場在內部的增長不再是線性的，而是斜率不斷增加的凹向上曲線，這正是選項 (D) 呈現的特徵。 當 $r > R$ 時，不論內部如何分佈，從外部看都等同於一個位於中心的點電荷，電場必遵循平方反比定律 ($E \propto 1/r^2$) 遞減。此題極具鑑別度，難點在於學生是否能區分「均勻分佈」與「非均勻分佈」在數學模型上的細微差異，而你成功跨越了這個陷阱！