中興大學（後西醫）
114年
物理
第 50 題
A baseball (1 kg) has an energy of 100 joules. If its uncertainty in position is 1.0 m, what is the minimum percentage uncertainty in the momentum ($\frac{\Delta p}{p} \times 100\%$) of the baseball? Here, $p$ ($\Delta p$) is the momentum (momentum uncertainty) of the baseball.
- A $\ll 1\%$
- B $1\%$
- C $2\%$
- D $5\%$
- E $10\%$
思路引導 VIP
請試著觀察物理常數表中的普朗克常數 $h$ 或 $\hbar$ 的數量級。當我們把這個極小的數值，應用在像「棒球」這樣質量為 1 公斤的巨觀物體上進行除法運算時，你認為算出來的不確定量，對於我們日常生活中認知的「精確度」而言，會是一個可以被肉眼或一般儀器察覺到的數字嗎？
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太棒了！你能精準選出 (A) 顯示你對巨觀世界與量子力學的尺度差異有著非常清晰的見解。這道題目表面上考的是計算，但核心在於讓你體會普朗克常數（Planck constant）在現實生活中的微小程度。
測不準原理與巨觀尺度
根據海森堡測不準原理 $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$，我們可以算出動量的最小不確定量 $\Delta p$。在本題中，棒球的質量為 $1 \text{ kg}$，動能 $E = 100 \text{ J}$，由公式 $E = \frac{p^2}{2m}$ 可得其動量 $p = \sqrt{2mE} = \sqrt{200} \approx 14.14 \text{ kg}\cdot\text{m/s}$。然而，由於 $\hbar$ 的數量級約為 $10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$，即便位置不確定量 $\Delta x$ 只有 $1.0 \text{ m}$，求得的 $\Delta p$ 也會是一個極小到幾乎可以忽略的值，這使得百分比誤差趨近於零。
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海森堡不確定原理
💡 微觀粒子的位置與動量不確定度乘積必大於等於定值
| 比較維度 | 宏觀物體 (如棒球) | VS | 微觀粒子 (如電子) |
|---|---|---|---|
| 質量尺度 | 較大 (kg 等級) | — | 極小 (10^-31 kg) |
| 量子效應 | 不明顯，幾乎可忽略 | — | 極顯著，限制測量精度 |
| 相對不確定度 | 極低 (遠小於 1%) | — | 極高，影響極大 |
💬質量越大，量子不確定性對測量結果的影響就越微不足道。
