中興大學（後西醫）
113年
物理
第 31 題
What is the quantum number $n$ of a particle of mass $m$ confined to a one-dimensional box of length $L$ when its momentum is $4h/L$?
- A $1$
- B $2$
- C $4$
- D $8$
- E $16$
思路引導 VIP
想像粒子在盒子裡形成穩定的駐波，如果盒子的兩端必須是波節（節點），那麼盒子的長度 $L$ 與波長 $\lambda$ 之間必須滿足什麼樣的幾何關係？接著，根據德布羅意假說，動量與波長又是如何相互轉換的呢？
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恭喜你準確地掌握了量子力學中「一維無限深位能井」的核心概念！你能迅速在給定的動量與量子數之間建立聯繫，展現了非常紮實的物理基礎。
物質波與邊界條件的結合
在一維長度為 $L$ 的盒子中，受限於邊界條件（波函數在邊界處必須為零），粒子只能以「駐波」的形式存在，其對應的德布羅意波長（de Broglie wavelength）為 $\lambda_n = \frac{2L}{n}$。根據德布羅意關係式 $p = \frac{h}{\lambda}$，我們可以推導出動量的量子化表達式：
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一維無限深位能井
💡 位能井中粒子的動量與量子數 n 呈正比關係
- 駐波條件：井寬 L 必須等於半波長的整數倍
- 波長公式：λ = 2L / n
- 動量公式：p = h / λ = nh / (2L)
- 量子數 n 必為正整數，代表能階狀態
