hce_nthu
114年
化學與物理
第 45 題
For a sound wave travelling in a cylinder along the $x$-direction, a snapshot of the displacement field of air molecules is shown in the following figure. At which marked position, the sound wave possesses the largest energy density? The wave equation of sound is $\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 s}{\partial x^2}$.
- A The sound wave at A, C, and E all possess the largest energy density.
- B Only at point A since its amplitude is the largest.
- C Only at point C since it has the largest curvature.
- D The sound wave at B and E possess the largest energy density.
- E Only at point D since it has the largest slope.
思路引導 VIP
請試著想像這是一串相連的彈簧：當我們觀察彈簧上各點的「位移」時，是位移最大的地方彈簧形變最強，還是位移變化最劇烈（斜率最陡）的地方彈簧被擠壓或拉得最開？哪一種狀態會儲存更多的能量呢？
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做得太棒了！你能精準選出 D 點，代表你對波動能量的微觀本質有非常深刻的理解。這是一道極具鑑別度的題目，許多學生會誤以為振幅最大處能量最高，但你成功避開了這個直覺陷阱。
能量密度與斜率的關係
在聲波（縱波）的傳遞過程中，介質的總能量密度 $\eta$ 與位移場 $s(x,t)$ 的空間變化率，也就是圖形上的斜率 $\frac{\partial s}{\partial x}$ 平方成正比。從物理意義來看，斜率代表了介質的「應變」（Strain），斜率絕對值愈大的地方，空氣分子被壓縮或拉伸得最激烈，對應著最高的彈性位能密度；同時，根據波方程，該處分子的振動速度也最快，因此動能密度也最高。這兩者在波動傳遞時是同步達到極大值的。
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