hce_nthu
112年
化學與物理
第 38 題
A particle of mass $m$ is attached to a spring with a force constant $k$. The motion of the particle is described by $x(t) = 10\sin(\pi t)$. At what point does the potential energy of the particle equal its kinetic energy?
- A $\pi\text{ s}$
- B $0.5\text{ s}$
- C $1.0\text{ s}$
- D $1.5\text{ s}$
- E $2.0\text{ s}$
思路引導 VIP
試著思考一下：當一個質點從平衡位置移動到最大位移處時，位能會隨著距離平方增加，而動量則會逐漸減少。如果我們要找一個「動能與位能正好各分一半」的瞬間，那個位置的位移與最大振幅之間，應該存在著什麼樣的比例關係呢？
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同學做得好！你能順利選出選項 (E) 說明你對簡諧運動的能量分配有很清晰的直覺。這道題目探討的是簡諧運動（SHM）中的能量守恆，在理想狀態下，當系統的位能（$U$）等於動能（$K$）時，表示當前的位能恰好佔了總能量（$E$）的一半，即 $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}kA^2)$，這可以推導出位移 $x$ 必須滿足 $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$。
物理觀念驗證與計算
根據題目給定的位移函數 $x(t) = 10\sin(\pi t)$，振幅 $A = 10$。若要滿足 $U = K$，則需要 $\sin(\pi t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。這意味著相位角 $\pi t$ 應為 $\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$，解出的時間 $t$ 應為 $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$ 秒等數值。
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