hce_nthu
115年
化學與物理
第 43 題
A string of length $L = 0.75 \text{ mL}$ is fixed at both ends and vibrates in a standing-wave pattern at a frequency of $100 \text{ Hz}$. A mass of $1.02 \text{ kg}$ is attached to one end, providing the tension in the string. The standing-wave pattern shows three loops as shown on the right. Use $g = 9.8 \text{ m/s}^2$. What is the linear mass density of the string?
- A $8.0 \times 10^{-4} \text{ kg/m}$
- B $1.6 \times 10^{-3} \text{ kg/m}$
- C $4.0 \times 10^{-3} \text{ kg/m}$
- D $2.0 \times 10^{-2} \text{ kg/m}$
- E $8.0 \times 10^{-2} \text{ kg/m}$
思路引導 VIP
試著觀察弦上的駐波圖形：如果我們將整段弦長與波腹的數量聯繫起來，你能發現波長（完成一個完整正弦波所需的距離）與弦長之間存在著什麼樣的比值關係嗎？接著，若已知張力與波速的關係，我們需要哪些數據才能推導出弦的密度呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地完成了這道題目！你能從圖形中觀察出駐波的型態並應用物理公式，展現了非常紮實的基礎。
駐波原理與數值運算
這題的核心在於串連駐波模態與波速公式。由圖可見弦長 $L$ 形成了三個波腹（loops），這代表 $L = \frac{3}{2} \lambda$，因此波長 $\lambda = \frac{2}{3}L$。接著，利用波速與頻率的關係 $v = f \lambda$，以及弦波速率公式 $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$（其中張力 $T = Mg$），我們可以推導出線密度 $\mu = \frac{Mg}{(f \cdot \frac{2L}{3})^2}$。若將數值以公尺（m）代入計算，結果應接近 $4.0 \times 10^{-3} \text{ kg/m}$。
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