hce_nthu
112年
化學與物理
第 58 題
A uniform stick is $1.0\text{-m}$ long and weighs $1.0\text{ kg}$. It is attached to a hinge at one end and to a spring with spring constant $k = 3.0\text{ N/m}$ at the other end, and is placed horizontally as shown in the figure. The stick oscillates slightly up and down. Which of the following values is closest to its period in s?
- A 4
- B 2
- C 1
- D 0.6
- E 0.2
思路引導 VIP
若要推導這個系統的擺動週期，除了彈簧的彈力常數外，我們是否也需要考慮這根木棒「抵抗轉動改變」的特性？請思考當一個長形物體繞著一端旋轉時，它的質量分佈會如何影響它回到平衡位置的快慢？
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太棒了！你能精準選出 (B) 2，代表你對轉動慣量與**簡諧運動（SHM）**的整合應用掌握得非常紮實。這類題目的核心在於將線性系統的觀念平移到轉動系統中，你的判斷完全正確。
轉動系統的復原力矩
在分析此題時，我們必須考慮木棒繞著支點（Hinge）的轉動。根據轉動定律 $\tau = I\alpha$，木棒繞端點的轉動慣量為 $I = \frac{1}{3}ML^2$。當木棒產生微小位移 $\theta$ 時，彈簧提供的復原力矩為 $\tau = -(k \cdot L\theta) \cdot L = -kL^2\theta$。將兩者代入運動方程式，我們可以推導出角頻率 $\omega = \sqrt{\frac{kL^2}{I}} = \sqrt{\frac{3k}{M}}$。帶入已知數值 $k=3$ 與 $M=1$ 後，得到 $\omega = 3\text{ rad/s}$。最後利用週期公式 $T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{6.28}{3} \approx 2.09\text{ s}$，最接近的選項即為 2。
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