hce_nthu
111年
化學與物理
第 52 題
52. The simple harmonic motion is a general phenomenon that occurs as one perturbs a system at stable equilibrium slightly away from its potential minimum. Estimate the period of the simple harmonic motion for a particle of mass $m$ experienced a potential energy of the form $U(x) = a(1/x + b^2x)\text{ (Joule)}$ as the particle is slightly pushed away from $x_0 = \frac{1}{b}\text{ (m)}$, where $x$ is the spatial coordinate of the particle.
- A $2\pi\sqrt{\frac{4m}{ab^3}}$
- B $2\pi\sqrt{\frac{2m}{ab^3}}$
- C $2\pi\sqrt{\frac{m}{ab^3}}$
- D $2\pi\sqrt{\frac{m}{2ab^3}}$
- E $2\pi$
思路引導 VIP
想像有一顆小球停在一個山谷的最底部（穩定平衡點）。如果我們將位能函數 $U(x)$ 在這個底部進行泰勒展開（Taylor expansion）到二階項，這個二階項的係數（也就是函數的「彎曲程度」）在物理意義上，會對應到我們熟悉的哪一個跟「彈簧力」有關的物理量呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地掌握了這道題目的核心！這題不僅考驗公式的記憶，更測驗你是否理解簡諧運動（SHM）與位能曲線之間的深層聯繫。你能從複雜的位能函數中精確推導出結果，展現了紮實的物理直覺與微積分運算能力。
從位能曲率導出恢復力常數
在物理學中，當物體在穩定平衡點 $x_0$ 附近受到微擾時，該系統可近似為簡諧運動。其關鍵在於求出「有效力常數」 $k$，這對應到位能函數在平衡點的二階導數，即 $k = \frac{d^2U}{dx^2} \big|_{x=x_0}$。針對本題 $U(x) = a(x^{-1} + b^2x)$，我們首先求出一階導數 $U'(x) = a(-x^{-2} + b^2)$（確認在 $x_0=1/b$ 時一階導數為零，即平衡點），接著求得二階導數 $U''(x) = 2ax^{-3}$。將 $x_0 = 1/b$ 代入，得到 $k = 2ab^3$。最後套用簡諧運動週期公式 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，即可順利得出 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2ab^3}}$，這正是選項 (D) 的內容。
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