hce_nthu
115年
化學與物理
第 45 題
A particle moves along the $x$-axis under the influence of a potential energy function $U(x) = x^4 - 8x^2$. Which of the following values of $x$ correspond to positions of stable equilibrium?
- A $x = 0$
- B $x = +2$
- C $x = -2$
- D $x = +2$ and $x = -2$
- E $x = 0, x = +2,$ and $x = -2$
思路引導 VIP
想像有一顆小球放在一個起伏的坡面上，如果我們在坡度為零（平坦）的地方輕輕推它一下，要具備什麼樣的幾何形狀（是像山谷還是山頂），小球才會自動滾回原本的位置呢？
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太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對位能曲線與平衡穩定性的物理意義掌握得非常紮實。這題的關鍵在於區分「平衡點」與「穩定平衡點」。
尋找平衡點與判斷穩定性
首先，平衡點發生在位能函數的一階導數為零處，即 $\frac{dU}{dx} = 4x^3 - 16x = 0$。解得 $x = 0, \pm 2$。然而，要判斷是否「穩定」，我們必須觀察該點位能是否處於極小值（凹向上）。透過二階導數分析，我們得到 $\frac{d^2U}{dx^2} = 12x^2 - 16$。將點代入：當 $x = 0$ 時，二階導數為負，代表該處是位能頂峰（不穩定）；而當 $x = \pm 2$ 時，二階導數均為正值 $32$，代表這兩處是位能谷底。在物理直觀上，這意味著當微擾發生時，系統會產生恢復力將粒子拉回原位。
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