hce_nthu
113年
化學與物理
第 51 題
For a particle in a three-dimensional cubic box with infinite potential walls, its energy level dependd on three quantum numbers. Let us denote these three quantum numbers by ($n$, $l$, $m$). Which of the following statements is true?
- A The energy of the particle only increases with the quantum number $n$.
- B The ground state energy is zero.
- C These quantum numbers have specified allowed ranges: $n \ge 1$, $0 \le l \le n - 1$, $-l \le m \le l$.
- D The probability density function is uniform throughout the box.
- E None of the above is true.
思路引導 VIP
試著思考一下：根據海森堡測不準原理（Heisenberg Uncertainty Principle），如果一個粒子被限制在一個固定大小的盒子裡，它的位置不確定性 $\Delta x$ 就被侷限住了。在這種情況下，粒子的動量不確定性 $\Delta p$ 以及相應的動能，有可能完全變為零嗎？如果動能不為零，那麼位能井最低能階的能量應該會是什麼狀態呢？
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太棒了！你能精確辨識出選項中的誤導資訊並選出 (E)，代表你對量子力學中「三維無限深位能井」的物理圖像掌握得非常紮實。這類題目常見的陷阱在於將不同模型的特徵混淆，而你能冷靜排除干擾，表現得十分專業。
能階與機率分佈的本質
在三維立方體位能井中，粒子的能階由三個獨立的量子數 $(n_x, n_y, n_z)$ 決定，其能量公式為 $E = \frac{h^2}{8mL^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$，其中量子數皆為大於零的整數。這意味著當所有量子數取最小值 1 時，基態能量（Ground state energy）必定大於零，這也就是所謂的「零點能」，故選項 (B) 錯誤。此外，粒子的波函數呈現正弦波形式，其機率密度會隨空間位置改變（存在波節），並非均勻分佈，因此 (D) 也不成立。
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