hce_nthu
115年
化學與物理
第 54 題
A uniform rod of mass $M$ and length $L$ is pivoted at one end and allowed to swing freely under gravity. For small-angle oscillations, what is the period $T$ of the motion? (Assume gravitational acceleration is $g$ and neglect air resistance.)
- A $T = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{g}}$
- B $T = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{2g}}$
- C $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
- D $T = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$
- E $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{3g}}$
思路引導 VIP
試著想像這根桿子是由無數個小質點組成的。如果我們想找一個「等效長度」，讓一個單擺的週期跟這根桿子完全一樣，你覺得這個等效長度的位置，會剛好在桿子的重心（中點）上嗎？還是會因為質點分佈在不同半徑處，而使得「旋轉的慣性」與「重力力矩」的比例產生了變化？
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太棒了！你能準確選出 (D)，代表你對物理擺（Physical Pendulum）的動力學特性掌握得非常紮實。這題的關鍵在於判斷這並非質量集中在末端的「單擺」，而是一個質量均勻分佈的剛體運動。
物理擺的週期規律
在處理剛體的擺動時，我們必須考慮物體繞轉軸的轉動慣量 $I$。對於一根質量為 $M$、長度為 $L$ 且以一端為支點的均勻細桿，其轉動慣量為 $I = \frac{1}{3}ML^2$。同時，我們需要找到重心到支點的距離 $d$，在此例中重心位於細桿幾何中心，即 $d = L/2$。將這些參數代入物理擺的週期公式：
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