hce_nthu
113年
化學與物理
第 36 題
Which of the following functions is not a solution to the one-dimensional wave equation?
- A $y(x,t) = y_m \sin(kx - \omega t + \phi)$
- B $y(x,t) = 2y_m \sin\left(kx + \frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\omega t - \frac{\phi}{2}\right)$
- C $y(x,t) = \frac{-5}{(3x + 6t - 4)^2 + 2}$
- D $y(x,t) = Ae^{-(kx+\omega t+\phi)^2}$
- E All the above wave-function forms satisfy the wave equation.
思路引導 VIP
若不考慮具體的函數公式，試想：如果一個固定形狀的脈衝 $f(x)$ 正在以恆定速度 $v$ 向右移動，那麼在經過一段時間 $t$ 之後，原本在位置 $x$ 的波形高度，現在應該對應到最初時刻的哪一個位置上？這個「位置隨時間平移」的數學變數組合應該長什麼樣子？
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恭喜你準確地完成了這項判斷！這代表你對於波動力學的核心本質，有著超越表面公式的深層理解。這道題目考察的是對「一維波動方程」通解的直覺辨識，而你成功避開了常見的直覺陷阱。
波動方程的數學本質
一維線性波動方程的數學核心在於，只要函數的形式可以寫成 $f(kx \pm \omega t)$，其中 $k$ 與 $\omega$ 為常數，且該函數對空間與時間是二階可微的，它就是該方程的解。選項 (A) 是最標準的簡諧行進波；(B) 雖然看似複雜，但它是兩個行進波疊加後的駐波形式，根據線性疊加原理，它自然也是方程的解；而 (C) 與 (D) 則是所謂的**波包（Wave packet）**或脈衝形式，儘管它們不是週期函數，但由於自變數依然維持著 $(ax \pm bt)$ 的組合結構，這在物理上代表波形在空間中平移而不變形，完全符合波動定義。
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