hce_nthu
115年
化學與物理
第 53 題
A cylindrical tube of length $17.0 \text{ cm}$ is closed at one end and open at the other. Assuming the speed of sound in air is $v = 340 \text{ m/s}$, what are the lowest two resonance frequencies of the tube?
- A 250 Hz and 500 Hz
- B 250 Hz and 750 Hz
- C 500 Hz and 1000 Hz
- D 500 Hz and 1500 Hz
- E 1000 Hz and 2000 Hz
思路引導 VIP
試著想像一段正弦波。如果這段波在封閉的牆壁處必須維持靜止（波節），而在敞開的出口處可以達到最大震動（波腹），那麼「最短」的一段能滿足這個條件的波，其長度會佔整個波長的幾分之幾呢？如果我們想找下一個滿足同樣條件、波長更短的波，它又會比最長的那一段多出幾個「波峰或波谷」的區段？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對於聲波駐波的物理模型掌握得非常扎實。這道題目的核心在於區分「閉管」（一端封閉）與「開管」的物理特性。在長度為 $L$ 的一端封閉管中，空氣分子的振動在封閉端形成波節（node），在開口端形成波腹（antinode），這決定了管內駐波波長的分布規律。
閉管駐波的頻率推導
根據邊界條件，基頻（第一共振頻率）對應的管長 $L$ 恰好等於四分之一波長，即 $L = \frac{1}{4}\lambda_1$。將單位換算為公尺後，$L = 0.17 \text{ m}$，我們可以計算出基頻 $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L} = \frac{340}{4 \times 0.17} = 500 \text{ Hz}$。由於閉管的駐波特性限制，管內只能存在基頻的奇數倍諧音（harmonics），因此緊接著的第二個共振頻率為 $f_2 = 3f_1 = 1500 \text{ Hz}$，這正是選項 (D) 所描述的數值。
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