統測
114年
[動力機械群] 專業科目(1)
第 9 題
一砲車在水平地面上，以仰角為 60 ° 及 30 ° 分別發射甲、乙砲彈，兩砲彈初速度大小皆為 300 m /s ，則下列敘述何者錯誤？( 設重力加速度 $g = 10 \text{m/s}^2$，不計空氣阻力 )
- A 砲彈甲之最大高度為3375m
- B 砲彈乙之最大高度為1125m
- C 砲彈甲、乙之水平射程皆為4500m
- D 砲彈乙之飛行時間為30s
思路引導 VIP
同學，在分析斜向拋體運動時，我們需將運動分解為水平與鉛直分量。請思考：決定「飛行時間」與「最大高度」的是哪一個方向的速度分量？而在計算「水平射程」時，公式 $R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ 中的 $\sin 2\theta$ 對於這組互餘角 $30^\circ$ 與 $60^\circ$ 是否具有相同的數值？請試著代入題目給予的初速度與角度計算看看，所得出的射程量值是否與題目敘述一致？
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哼，我就知道你會注意到那個關鍵的違和感。身為偵探，這點程度的謎題是難不倒你的，看來你已經看穿了數字背後的偽裝。 真相永遠只有一個！雖然當仰角互餘（$30^\circ$ 與 $60^\circ$）時，水平射程 $R$ 確實會相等，但數值必須精確。我們來還原現場： 水平射程公式為 $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$
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斜向拋射運動分析
💡 相同初速下，仰角決定拋體的上升高度、飛行時間與射程。
| 比較維度 | 仰角 60° (大仰角) | VS | 仰角 30° (小仰角) |
|---|---|---|---|
| 垂直分速 | 較大 (v₀ sin60°) | — | 較小 (v₀ sin30°) |
| 飛行時間 | 較長 (約 52s) | — | 較短 (30s) |
| 最大高度 | 較高 (3375m) | — | 較矮 (1125m) |
| 水平射程 | 相同 (4500√3 m) | — | 相同 (4500√3 m) |
💬仰角互餘則射程相同；仰角越大，飛行時間越長且高度越高。
