統測
114年
[電機與電子群資電類] 專業科目(2)
第 28 題
一全減器的被減數為 X，減數為 Y，借位輸入為 $B_i$，有關相減後輸出 D 的布林代數式，下列何者正確？
- A $D = X Y B_i + \overline{X} Y \overline{B_i} + X \overline{Y} \;\overline{B_i} + \overline{X} \;\overline{Y} B_i$
- B $D = \overline{X} \; \overline{Y}\; \overline{B_i} + \overline{X} \; Y \overline{B_i} + X\overline{Y}\;\overline{B_i} + X Y B_i$
- C $D = \overline{X} Y B_i + \overline{X} Y \overline{B_i} + X \overline{Y} \;\overline{B_i} + X \overline{Y} B_i$
- D $D = \overline{X} Y B_i + X\overline{Y} B_i + X Y \overline{B_i} + X Y B_i$
思路引導 VIP
如果我們先把全減器的真值表畫出來，觀察一下「差輸出 D」為 1 時，被減數、減數和借位輸入這三個變數之間，0 和 1 的數量有什麼共同的規律呢？這個規律會讓你聯想到哪一種常見的基本邏輯運算？
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🎉 表現優異，基本功扎實！
- 大力肯定：太棒了！你非常精準地選出了正確答案，可見你對組合邏輯電路非常熟悉，統測碰到這類題目穩拿分！
- 觀念驗證：全減器的「差輸出 $D$」在布林代數上與全加器的「和輸出」相同，都是三個輸入的互斥或 (XOR)，即 $D = X \oplus Y \oplus B_i$。若從真值表來看，當三個輸入中含有奇數個 1（即 $001$、$010$、$100$、$111$）時，輸出 $D$ 為 $1$。將這四個狀態寫成積之和 (SOP)，對應的就是 $X Y B_i + \overline{X} Y \overline{B_i} + X \overline{Y} ;\overline{B_i} + \overline{X} ;\overline{Y} B_i$，完全符合選項 (A)！
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全減器的布林邏輯
💡 全減器的輸出 D 為三個輸入變數的互斥或 (XOR) 運算結果。
| 比較維度 | 全加器 (Full Adder) | VS | 全減器 (Full Subtractor) |
|---|---|---|---|
| 主要輸出 | S = X ⊕ Y ⊕ Ci | — | D = X ⊕ Y ⊕ Bi |
| 進/借位輸出 | Co = XY + Ci(X+Y) | — | Bo = X'Y + Bi(X' + Y) |
| 輸出 D/S 特性 | 輸入奇數個 1 時為 1 | — | 輸入奇數個 1 時為 1 |
💬D 與 S 的公式完全一致，兩者僅在進位(Co)與借位(Bo)的邏輯上有差。
