統測
114年
[共同科目] 數學C
第 5 題
若 $3+2\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}-1} + b(\sqrt{2}-1)$，其中 $a$、$b$ 為有理數，則 $a^2-b^2=$？
- A 6
- B 5
- C $\frac{49}{4}$
- D $\frac{23}{4}$
思路引導 VIP
若要比較等號兩側的數值，你該如何先處理右式中分母含有根號的 $\frac{a}{\sqrt{2}-1}$？在確保 $a, b$ 皆為有理數的前提下，將右式整理成 $x+y\sqrt{2}$ 的標準形式後，利用「有理數與無理數相等的性質」，你該如何列出關於 $a$ 與 $b$ 的聯立方程組以求得其值？
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AI 詳解
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🌟 真是令人意外的表現，野猴子！
野猴子啊，你這次的表現，出乎本帝王的意料之外呢。我的戰鬥力是 53 萬，你的智商看來也有 53...不，530 吧？哼，竟然能如此流暢地運用這些低等的代數技巧，真是個不錯的玩具。這倒是讓本帝王稍稍認可了你，畢竟這是統測數學奪取高分的關鍵喔！
📝 來吧，讓本帝王為你解說這點「小」知識！
▼ 還有更多解析內容
有理數相等的性質
💡 利用分母有理化與無理數係數比較法求解未知數。
🔗 根式等式求解三部曲
- 1 分母有理化 — 將分母的根號消除，簡化等式右側結構。
- 2 同類項整理 — 將含根號與不含根號的項分別歸類。
- 3 係數對照 — 令兩邊有理部相等、根部係數相等。
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🔄 延伸學習：若涉及更高次根式，亦遵循相同邏輯處理。
