moea_joint_essay
114年
[化工製程] 單元操作、輸送現象
第 六 題
一顆球形糖果(半徑 R0 = 0.001 m，密度 ρs = 1000 kg/m³，分子量 0.342 kg/mol)靜止懸浮於不流動的水中(密度 ρ = 1000 kg/m³，分子量 0.018 kg/mol)。糖球在溶解過程中保持球形，溶解速率主要受糖分子由表面向外擴散的速度所限制，擴散係數 DAB = 5×10⁻⁹ m²/s，糖球表面濃度維持在飽和值 Cs = 5 mol/m³，遠處濃度近似為 0。試求糖球體積減半需多少天(計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入)？（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
設定偽穩態擴散模型計算球形粒子的溶解速率，建立質量守恆微分方程，積分求出半徑隨時間變化的關係，最後代入糖球體積減半的條件求得所需時間（轉換為天數）。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
- 糖球為純固體，其莫耳密度為 $C_s^* = \frac{\rho_s}{M_w} = \frac{1000}{0.342} \approx 2923.9766 \text{ mol/m}^3$。
- 在靜止流體中的球體擴散，其薛伍德數 $Sh = 2$，即對流質傳係數 $k_c = \frac{D_{AB}}{R}$（或可由穩態菲克定律 $\nabla^2 C = 0$ 於球座標解出）。 表面質傳通量 $N_A = k_c (C_s - C_\infty) = \frac{D_{AB}}{R} (C_s - 0) = \frac{D_{AB} C_s}{R}$。
▼ 還有更多解析內容