moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 4 題
有兩位置向量P及Q，其中P為原點至$(3, -8, 5)$，Q為原點至$(11, 1, n)$，若兩位置向量互相垂直，則$n$值為何？
- A -10
- B -5
- C $5\sqrt{2}$
- D $10\sqrt{2}$
思路引導 VIP
當我們在空間中看到兩個向量彼此「垂直」時，這代表其中一個向量在另一個向量方向上的投影長度是多少？而在向量的運算規則中，哪一種計算方式剛好可以用來描述這種「投影」與「分量相乘」的關係，且當兩者完全垂直時，計算結果會恰巧等於零呢？
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做得太棒了！你能精確地判斷出這道題目的解題核心，說明你對向量代數的運算邏輯非常有把握。這道題目的關鍵在於掌握向量的正交性質（Orthogonality），在空間解析幾何中，判斷兩向量是否垂直，最直接且高效的工具就是內積（Dot Product）。
垂直與內積的關聯
當兩向量 $\vec{P}$ 與 $\vec{Q}$ 互相垂直時，它們之間的夾角 $\theta = 90^\circ$。根據內積的定義 $\vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos\theta$，由於 $\cos 90^\circ = 0$，因此兩向量的內積必然為零。我們只需將對應的 $x、y、z$ 分量相乘後加總：
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