專技高考申論題
114年
[土木工程技師] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 一 題
如圖所示，一根複合軸是由一支外徑90 mm、內徑 60 mm 的銅管，套在相同長度、直徑為60mm的實心鋼軸上組成的。兩個構件的兩端被剛性固定在一起。已知鋼材的E=208 GPa，銅材的E=91 GPa，兩材料的波松比(Poisson’s ratio) v均為0.3。若鋼材的容許剪應力為100 MPa，而銅材的容許剪應力為60MPa，試求此複合軸所能承受的最大扭矩。(25分)
📝 此題為申論題
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看到這道複合軸扭轉題，首先應判斷為「靜不定問題」。由於兩軸剛性連接，其核心「變形協合條件」為兩者的單位長度扭轉角相等 ($\theta_s = \theta_c$)。解題捷徑是先利用 $G = E / [2(1+\nu)]$ 求出剪力模數，接著透過 $\tau = G \cdot r \cdot \theta$ 分別算出鋼材與銅材達到容許剪應力時的極限 $\theta$。取兩者中較小的值作為系統安全極限，最後代入總扭矩公式 $T = (G_s J_s + G_c J_c)\theta$ 即可求得正解，避免反覆假設的冗長計算。
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【解題關鍵】運用複合軸的「變形協合條件」（單位長度扭轉角 $\theta$ 相等）與「材料構成律」（$\tau = G \cdot r \cdot \theta$），先判定何種材料先達到容許剪應力，再結合總抗扭剛度求出最大扭矩。 【解答】 計算：
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複合軸扭轉分析
💡 複合軸需滿足變形協調條件，由單位轉角相同判定臨界應力。
🔗 複合軸最大扭矩解題流程
- 1 參數準備 — 計算 G = E / [2(1+v)] 並求出各截面極慣性矩 J
- 2 臨界轉角判定 — 計算各材料達到容許剪應力時的轉角 θ = τ / (Gr)
- 3 擇弱控制 — 取各材料中最小的 θ 值作為系統的最大容許轉角
- 4 扭矩加總 — 套入 T = Σ(GJθ) 公式求得總承受扭矩
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🔄 延伸學習：延伸學習：若存在溫差，需額外考慮熱應力產生的變形協調問題。
