ast_essay
115年
數學乙
第 17 題
📖 題組：
坐標平面上有一向量 $\vec{u} = (1, 2)$ 及三點 $A(1, 1)$、$B(4, 2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。 已知 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上有一向量 $\vec{u} = (1, 2)$ 及三點 $A(1, 1)$、$B(4, 2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。 已知 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。
試求向量 $\vec{AB}$ 以及 $\cos \angle BAC$ 的值。（非選擇題，6分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
首先，將座標直接相減即可輕鬆求得向量 $\vec{AB}$。接著要求 $\cos \angle BAC$，需要知道 $\vec{AB}$ 與 $\vec{AC}$ 之間的幾何關係。根據題組給定的條件「$\vec{u}$ 與 $\vec{CA}$ 垂直」，代表 $\vec{AC}$ 會平行於與 $\vec{u}$ 垂直的法向量。$\vec{u}=(1,2)$ 的法向量可取 $(-2,1)$，故可設 $\vec{AC} = t(-2, 1)$。接著運用「內積」與長度求夾角餘弦的公式，代入後會發現 $t$ 可以被約掉。同時要利用題目條件「$C$ 在第二象限」搭配 $A(1,1)$ 的相對位置來判斷參數 $t$ 的正負，確認夾角是鈍角還是銳角。
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根據題意，$\vec{AB} = (4, 2) - (1, 1) = (3, 1)$。 由第 16 題知 $\vec{AC}$ 平行於 $(-2, 1)$，設 $\vec{AC} = t(-2, 1)$， 得 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3, 1) \cdot (-2t, t) = -6t + t = -5t$。
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