ast_essay
115年
數學乙
第 18 題
📖 題組：
坐標平面上有一向量 $\vec{u} = (1, 2)$ 及三點 $A(1, 1)$、$B(4, 2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。 已知 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上有一向量 $\vec{u} = (1, 2)$ 及三點 $A(1, 1)$、$B(4, 2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。 已知 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\vec{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。
試求線段 $BC$ 的長度。（非選擇題，6分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的平面向量綜合題，求線段長度有多種切入法。最直接的代數暴力解是假設點 $C$ 座標後解聯立方程式（解法三）。若延續上題，可用參數 $t$ 表示 $\vec{CB}$ 來解（解法一）。但最漂亮的解法是「解法二」：利用向量加法 $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$ 與內積對加法的分配律。因為已知 $\vec{u} \perp \vec{CA}$，使得 $\vec{u} \cdot \vec{CA} = 0$，這能直接將 $\vec{u} \cdot \vec{CB}$ 化簡為 $\vec{u} \cdot \vec{AB}$。算出這個定值後，再搭配內積公式的長度與夾角餘弦，就能非常迅速且優雅地解出 $|\vec{CB}|$。建議考生要能看出「垂直」製造出內積為 0 這個能大幅簡化運算的關鍵條件。
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【解法一】 由第 17 題，$\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB} = (2t, -t) + (3, 1) = (3+2t, 1-t)$。 由內積定義知 $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{CB}}{|\vec{u}| |\vec{CB}|} = \frac{(1, 2) \cdot (3+2t, 1-t)}{\sqrt{5} \times \sqrt{(3+2t)^2 + (1-t)^2}}$，
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