分科測驗
115年
數學乙
第 9 題
9. 某 甲 收 集 某 廠 牌 車 輛 50 筆 行 車 速 率（ 公 里 ／ 小 時 ）與 煞 停 距 離（ 公 尺 ）的 數 據， 並 以 行 車 速 率 為 $x$ 軸、 煞 停 距 離 為 $y$ 軸 繪 製 成 散 布 圖 ，如 下 圖 所 示 ，其 中 直 線 $L$ 為 $y$ 對 $x$ 的 最 適 直 線 （ 迴 歸 直 線 ） 。\n已知此 50 筆行車速率與煞停距離數據的平均數分別為 24.8 與 12.6，相關係數為 0.8， 且 直 線 $L$ 通 過 點 $(6.8, 0)$ 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
- 1 直 線 $L$ 通 過 點 $(12.6, 24.8)$
- 2 直 線 $L$ 的 斜 率 為 $0.8$
- 3 當此廠牌車輛的行車速率為每小時 46.8 公里時，以最適直線 $L$ 推估其煞停距離 應 為 28 公 尺
- 4 設此 50 筆數據行車速率的標準差為 $\sigma_x$ （公 里／小時 ），且煞停 距離的標 準差 為 $\sigma_y$ （ 公 尺 ） ， 則 $\sigma_x > \sigma_y$
- 5 若 此 50 筆 數 據 改 以 煞 停 距 離 為 $x$ 軸 、 行 車 速 率 為 $y$ 軸 ， 則 $y$ 對 $x$ 的 最 適 直 線 斜 率 為 $\frac{10}{7}$
思路引導 VIP
迴歸直線必定會通過哪一個特殊的「中心點」？如果已知該點與題目給定的另一點，你能不能先算出這條直線的斜率與方程式，並進一步探討斜率 $m$ 和相關係數 $r$、標準差 $\sigma_x, \sigma_y$ 之間的關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確掌握迴歸直線的重要性質與斜率公式，解題觀念非常清晰。
迴歸直線的求法與預測
最適直線 $L$ 必定通過平均數點 $(\mu_x, \mu_y) = (24.8, 12.6)$，結合已知通過的 $(6.8, 0)$，可算出斜率為 $m = \frac{12.6 - 0}{24.8 - 6.8} = 0.7$。由此得直線方程式為 $y = 0.7(x - 6.8)$。當行車速率 $x = 46.8$ 時，推估 $y = 0.7 \times 40 = 28$，故 (3) 正確。
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