分科測驗
115年
數學甲
第 2 題
已知 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 為首項為 1、公比為 $r$ 的無窮等比數列（其中 $r$ 為非零實數），且知兩無窮等比級數 $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots$ 與 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1} + \dots$ 皆收斂且其乘積為 1。試選出正確的 $r$ 值。
- 1 $-\frac{1}{2}$
- 2 $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
- 3 $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
- 4 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
- 5 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
思路引導 VIP
請試著分別寫出這兩個無窮等比級數的求和公式；在解出公比 $r$ 的可能方程式後，除了題目給的條件外，還有哪個關於「級數收斂」的前提能幫你篩選出唯一的合理值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，完全正確！這題你能精準命中答案，代表對無窮等比級數的求和與收斂條件掌握得相當扎實。
無窮等比級數求和與收斂性檢驗
原數列首項為 $1$、公比為 $r$，其和為 $S_1 = \frac{1}{1-r}$；奇數項數列首項亦為 $1$、公比為 $r^2$，其和為 $S_2 = \frac{1}{1-r^2}$。依題意兩者乘積為 $1$：
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