普考申論題
115年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
一、在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量d與物理模型向量m有下列關係： Gm = d 上式G稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線性數學算子，而m為待求的物理模型參數向量。請回答下列問題：
一、在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量d與物理模型向量m有下列關係： Gm = d 上式G稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線性數學算子，而m為待求的物理模型參數向量。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若Gm = d為超定問題（over-determined problems），亦即觀測數據d的維度大於地下模型m的維度，請利用最小平方法（least squares method）推導其估計解m̂的矩陣表達式。（15 分）
思路引導 VIP
看到「超定問題」與「最小平方法」，應直覺想到觀測數據量多於模型參數，方程組無精確解。思考方向需轉向如何使「模型預測值」與「實際觀測值」之間的殘差（誤差）最小。建構誤差向量 $e = d - Gm$，接著寫出目標函數 $E = e^T e$（誤差平方和）。對目標函數中的待求參數 $m$ 進行矩陣偏微分並設定為零，即可導出 Normal equation 及其解。過程中要熟悉向量與矩陣求導的基本運算。
小題 (二)
在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像（Tomography）或有限斷層滑移分佈反演(Finite-fault inversion)，核矩陣G經常呈現嚴重的病態特徵，為了避免反演時產生估計解的劇烈變動，實務上常引入一平滑矩陣（smoothing matrix）W以約束相鄰模型參數間的平滑度。請利用廣義阻尼最小平方法（generalized damped least squares method）推導其估計解m̂的矩陣表達式。（10 分）
思路引導 VIP
本題涉及在病態問題（ill-posed problem）中的正則化技術（Regularization）。關鍵是理解目標函數在原本的「數據擬合度」之外，增加了一個「模型約束度」（此處為平滑度）。設目標函數為 $E = |d - Gm|^2 + \lambda^2 |Wm|^2$（$\lambda$ 為阻尼參數或正則化參數）。推導步驟與前一題相似，但在微分時需多處理正則化項的微分，最終合併同類項提取出新的 $\hat{m}$ 解。