普考申論題
115年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
四、地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定位參數為m = [x, y, z, t]^T，其中(x, y, z)為震源的三維空間座標，t是發震時間。現有若干地震測站，而第i個測站的座標為(x_i, y_i, z_i)，其記錄到 P波的到時（arrival time）為T_i，表示如下： T_i(x, y, z, t) = t + τ_i(x, y, z) τ_i是震源到第i個測站的 P 波走時。請回答下列問題：
四、地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定位參數為m = [x, y, z, t]^T，其中(x, y, z)為震源的三維空間座標，t是發震時間。現有若干地震測站，而第i個測站的座標為(x_i, y_i, z_i)，其記錄到 P波的到時（arrival time）為T_i，表示如下： T_i(x, y, z, t) = t + τ_i(x, y, z) τ_i是震源到第i個測站的 P 波走時。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
由於到時T_i與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之震源參數為m_0 = [x_0, y_0, z_0, t_0]^T，請利用蓋格法（Geiger's method）將之轉換成到時殘差（ΔT_i）與地震定位參數修正量(Δx, Δy, Δz, Δt)的線性方程表達式。（10 分）
思路引導 VIP
蓋格法（Geiger's method）在地震學中等同於多變數非線性方程組的泰勒展開線性化法（Newton-Raphson法的一種實作）。考生須知如何對非線性函數 $T_i$ 於初始猜測點 $m_0$ 進行多變數一階泰勒展開。忽略二階以上高階項，將實測值與初始猜測值的差定義為殘差 $\Delta T_i$，將座標與時間差定義為修正量 $\Delta x$ 等。同時需注意走時公式中時間 $t$ 為線性項，求偏導為 1。
小題 (二)
承(一)，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改寫成矩陣形式，表示為GΔm = d，其中G稱為核矩陣（kernel matrix），Δm = [Δx, Δy, Δz, Δt]^T為地震定位參數修正量向量，d為各測站的到時殘差向量。若G為病態矩陣（ill-conditioned matrix），請利用阻尼最小平方法（damped least squares method）推導其估計解Δm̂的矩陣表達式。（15 分）
思路引導 VIP
此題的考點與第一題的第(二)小題極為相似（為其特例）。當核矩陣病態時，微小的資料誤差會導致模型修正量 $\Delta m$ 過大或發散。阻尼最小平方法即是 Levenberg-Marquardt 法的精神，透過在目標函數中加入對 $\Delta m$ 向量長度（範數）的懲罰項 $\lambda^2 |\Delta m|^2$，限制修正步長。推導方式同第一題，寫出目標函數，對 $\Delta m$ 取微分解為零。