普考申論題
115年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
三、考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為ρ、比熱為c_p、熱導率（thermal conductivity）為k。隨深度z的一維熱傳導方程式為： ∂T / ∂t = (k / ρc_p) (∂^2T / ∂z^2) 上式中之T(z, t)表示沿z方向隨時間t之溫度變化。請回答下列問題：
三、考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為ρ、比熱為c_p、熱導率（thermal conductivity）為k。隨深度z的一維熱傳導方程式為： ∂T / ∂t = (k / ρc_p) (∂^2T / ∂z^2) 上式中之T(z, t)表示沿z方向隨時間t之溫度變化。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式）。（5 分）
思路引導 VIP
推導偏微分方程，第一步通常是取一微小控制體積。建立一個截面積為 $A$、厚度為 $\Delta z$ 的一維岩石單元。利用能量守恆：單位時間內單元體內的熱能增加量，等於流入的熱流減去流出的熱流。將傅立葉熱傳導定律 $q = -k \frac{\partial T}{\partial z}$ 代入熱通量中，再將等式除以控制體積體積並取極限，即可得到偏微分形式。
小題 (二)
請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式，並寫出其一般解（general solution）的通式。（10 分）
思路引導 VIP
看到分離變數法，標準起手式是令 $T(z,t) = Z(z)H(t)$。代入原方程後，將 $z$ 的變數與 $t$ 的變數分離至等式兩邊。由於兩邊變數相互獨立卻相等，必定等於一個常數（通常設為 $-\lambda^2$ 以確保時間衰減不發散，此處為熱學問題特徵）。接著解出關於 $t$ 的一階常微分方程和關於 $z$ 的二階常微分方程，最後將結果相乘。
小題 (三)
考慮溫度只在垂直方向（z方向）變化，且內部有熱源A（單位體積之產熱率），若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即∂T / ∂t = 0，則其熱導方程式為：
d^2T / dz^2 = -A / k
已知地表（z = 0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足：T = 0與q = -k dT / dz = -q_0（地表的熱流值），請推導出地溫分佈T(z)為何？（10 分）
d^2T / dz^2 = -A / k
已知地表（z = 0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足：T = 0與q = -k dT / dz = -q_0（地表的熱流值），請推導出地溫分佈T(z)為何？（10 分）
思路引導 VIP
此為典型的常微分方程（ODE）邊值問題（BVP）。將題幹給定的常微分方程對 $z$ 連續積分兩次，會得到含有兩個未定常數 $C_1$ 和 $C_2$ 的通解式。接著代入第一邊界條件（$z=0$ 時 $T=0$）與第二邊界條件（$z=0$ 時熱流為 $-q_0$），找出這兩個常數，代回原式即得最終解。